众所周知，在实数域上我们时不能随意开方的，因为没有数的平方为负。为了解决这个问题，我们定义一个新数，。我们定义定义复数 是形如 的数。
接下来定义各种运算符：
- 加法：
- 乘法：
- 相反数：
- 倒数：
这一点十分有趣，到底结果是多少呢？我们假设 ，然后可以得到
模型1：向量
我们将
当作平面上的一个向量，我们惊人的发现：负数加法就是向量加法，而负数乘法，可以定义一种叫复乘的运算，定义两个向量
，这样，我们就可以将复数当作向量来计算了。
有趣的是，两个向量进行复乘，结果恰好等于两个向量长度相乘，与
轴正半轴的逆时针夹角相加得到的向量。感兴趣可以自己算一下，我们稍后会给出证明。
模型2：映射
虽然
在实数与上没有解，但是我们能不能找到一种映射 ，使得
？显然是有的，逆时针旋转
就是其中一个。此时 是线性变换，矩阵为 。此时，我们自然可以把这个
对应到 ，把复数 同样当作映射，写成
的形式，最后的变换矩阵为 。
我们再次惊人的发现：复数相加知道把对应的矩阵相加就可以得到结果的矩阵，复数相乘只要把对应的矩阵相乘即可，实际上对应了映射的复合（而且满足交换律）。
我们将最终的矩阵提取出来一个 ，将原来的矩阵写成 的形式，发现 ，因此原来的矩阵实际上就是一个旋转变换复合上一个放缩变换，放缩的大小恰好就是
（即两个基向量的长度）。
此时进行复乘，实际上就是将放缩的长度相乘，将旋转的角度相加。
映射和向量
从模型1可以知道，
上的一个元素恰好对应了一个 中的元素。我们从中取出一个元素
，将 和
进行复乘，得到 。有趣的是，将 应用
所对应的 变换，同样可以得到 。因此，两个模型是可以混用的。实际上，我们可以通过在模型二的算式后乘上一个单位向量
，就可以将矩阵转化成同一个复数对应的向量，就可以得到这个结论（由于矩阵乘法满足结合律，所以先复合和先转化为向量没有区别，最后结果是一样的）。因此，复乘其实就是在应用变换，这样，，就不难解释复乘长度相乘，角度相加的现象了。