\(\newcommand{\lm}{\begin{bmatrix}}\newcommand{\rm}{\end{bmatrix}}\newcommand{\dis}[1]{\left\|#1\right\|}\) 从标题可以看出这篇文章时关于点积的。本文讨论的是平面点积。本文记 \(\vec{a}\) 的长度为 \(\left\|\vec{a}\right\|\)。 参与点积运算的是两个向量。架

从搜索的优化说起 考虑这样题目： 写一个程序来查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。 显然，我们可以从顶端开始，枚举每一条路径，求出其中的最大值。我们注意到，如果有一条路径可以到达某个点，之前的路径并不会影响之后走的路径。 举个例子：假如通过 \(7-8-1\) 到达了 \(1\) 这个点，接下来打算走 \(1-4-6\)

凸透镜 成像原理 关于实像和虚像的定义，请参见实像和虚像 众所周知，凸透镜有聚光的作用。 在一倍焦距以内，一个点光源发出的光线最后是这样的： 此时经过凸透镜的光线的反射延长线交于H点，这个点光源会在H点成虚像。由于光线会比原来汇聚，所以H点到透镜的距离会大于点光源到透镜的距离。 当点光源位于一倍焦距之外是，光线是这个样子的。 此时经过凸透镜的光线会交于J点，再J点放置光屏，可以再光屏上成

实像 具体定义见物理课本。 考虑实像的形成。我们将物看作许多个点光源，不难看出，成清晰实像形成的条件是从每个点光源上发出的光线会在光屏上投射要一个点上，如果不是一个点（而是一个光斑）成的像就会不清晰。 虚像 具体定义还是看物理课本。 以平面镜为例，一般来说，会有这样的光路图。 怎么理解？经过平面镜反射后的光路，等价于撤去平面镜后位于C‘点的点光源发出的光线，C’点就是虚像的位置（既然等价，我们的

小孔成像，顾名思义，就是再光源和光屏之间放一个小孔，观察光源的成像效果。发现小孔再光屏上成倒立实像。 我们再[[实像和虚像]]里曾讨论过实像的形成，小孔成像是怎么实现的？很简单，把点光源发出的其他光线挡住，只留下一束光线打在光屏上。 这样就做到了每个点光源上发出的光线会在光屏上投射要一个点上。 严格意义来说，其实并不是一个点，构成像的单位（即，每个点光源投射到光屏上的形状）是孔的形状（而不是一

特解 先来考虑方程 \(\begin{cases}x+y=A\\x \operatorname{AND} y =B\end{cases}\) 的一组特解。 由于按位与不进位，并且 \(a \operatorname{AND} b=1\) 当且仅当 \(a=b=1\) ,这意味这 \(B\) 的二进制中有一位为 \(1\)，\(x,y\) 相应的位上必定也为 \(1\)，如果这位是 \(0\)，那么

\(\newcommand{\A}{\begin{bmatrix}m&p\\n&q\end{bmatrix}} \newcommand{\lA}{\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}} \newcommand{\rA}{\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}} \newcommand{\lvec}{\begin{bmatrix}

本篇笔记探究\(a^2+b^2=c^2\)的通解。 方程齐次:\(a^2+b^2=c^2\Rightarrow(\lambda a)^2+(\lambda b)^2=(\lambda c)^2\) 不妨设\(a,b,c\in\mathbb{N}_1\)且\(gcd(a,b,c)=1\). 则有 \[ \begin{cases} a=r^2-s^2\\ b=2rs\\ c=r^2+s^2 \end{