凸透镜 成像原理 关于实像和虚像的定义，请参见实像和虚像 众所周知，凸透镜有聚光的作用。 在一倍焦距以内，一个点光源发出的光线最后是这样的： 此时经过凸透镜的光线的反射延长线交于H点，这个点光源会在H点成虚像。由于光线会比原来汇聚，所以H点到透镜的距离会大于点光源到透镜的距离。 当点光源位于一倍焦距之外是，光线是这个样子的。 此时经过凸透镜的光线会交于J点，再J点放置光屏，可以再光屏上成

实像 具体定义见物理课本。 考虑实像的形成。我们将物看作许多个点光源，不难看出，成清晰实像形成的条件是从每个点光源上发出的光线会在光屏上投射要一个点上，如果不是一个点（而是一个光斑）成的像就会不清晰。 虚像 具体定义还是看物理课本。 以平面镜为例，一般来说，会有这样的光路图。 怎么理解？经过平面镜反射后的光路，等价于撤去平面镜后位于C‘点的点光源发出的光线，C’点就是虚像的位置（既然等价，我们的

小孔成像，顾名思义，就是再光源和光屏之间放一个小孔，观察光源的成像效果。发现小孔再光屏上成倒立实像。 我们再[[实像和虚像]]里曾讨论过实像的形成，小孔成像是怎么实现的？很简单，把点光源发出的其他光线挡住，只留下一束光线打在光屏上。 这样就做到了每个点光源上发出的光线会在光屏上投射要一个点上。 严格意义来说，其实并不是一个点，构成像的单位（即，每个点光源投射到光屏上的形状）是孔的形状（而不是一

特解 先来考虑方程 的一组特解。 由于按位与不进位，并且 当且仅当 ,这意味这 的二进制中有一位为 ， 相应的位上必定也为 ，如果这位是 ，那么只要保证 中相应的位上不同时为 就行。因此，我们可以先构造出一个满足 的最小解，方法是： 将 进行二进制分解，枚举其中的每一位。 如果这一位为 ，则把 相应的位上变为 。 如果这一位是 ，就把 中相应的位保持 。 最后得到的 就是满足

本文研究一条经过二维线性变换的直线的解析式。 我们假设变换前直线的解析式为，变换后的解析式为,变换矩阵. 附：计算变换后的结果的方法 推到过程： 结论：（没错，的值里包含矩阵的行列式，我也不知道为什么）。 的推导 直接计算 过程比较朴素，就是取两个求出变换后的点坐标，再用待定系数法或来求出. 众所周知，与直线的方向相同，直线进行变换后该向量变成了 易得上述结论。 的推导 计算：原直线上

本篇笔记探究的通解。 方程齐次: 不妨设且. 则有 或互换。 证明： a,b,c两奇一偶 因为𝟘. 而 又因为两两互质，所以只有当一奇一偶，为奇数时有 之后不妨设为偶。 分解因式。 (记n的质因数分解中p的幂次为) 所以对于的每个质因子p，有 互素 由九章算术·更损相减术可知互素（即，没有公共质因子） 为奇） 所以 或 无论如何，都是平方数（每个质因子的幂次都是的倍数）。 于是