直线与线性变换

\(\newcommand{\A}{\begin{bmatrix}m&p\\n&q\end{bmatrix}} \newcommand{\lA}{\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}} \newcommand{\rA}{\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}} \newcommand{\lvec}{\begin{bmatrix}} \newcommand{\rvec}{\end{bmatrix}} \newcommand{\aftrsfer}[2]{\lvec m#1+p#2\\n#1+q#2\rvec} \newcommand{\transx}[2]{m#1+p#2} \newcommand{\transy}[2]{n#1+q#2}\) 本文研究一条经过二维线性变换的直线的解析式。 我们假设变换前直线的解析式为\(y=k_0x+b_0\)，变换后的解析式为\(y=k_1x+b_1\),变换矩阵\(A=\begin{bmatrix}m&p\\n&q\end{bmatrix}\). 附：计算\((x,y)\)变换后的结果的方法 推到过程： \[ \A\lvec x\\ y \rvec =x\lA+y\rA=\lvec mx+py\\nx+qy\rvec \] 结论：\(y=\dfrac{n+qk_0}{m+pk_0},b=\dfrac{mqb_0-npb_0}{m+pk_0}\)（没错，\(b_1\)的值里包含矩阵的行列式，我也不知道为什么）。

1. \(k_1\)的推导
   1. 直接计算 过程比较朴素，就是取两个\(x_0,x_1\)求出变换后的点坐标，再用待定系数法或\(k=\dfrac{y-y'}{x-x'}\)来求出\(k\).
   2. 众所周知，\(\begin{bmatrix}1\\ k\end{bmatrix}\)与直线的方向相同，直线进行变换后该向量变成了\[A\begin{bmatrix}1\\ k_0\end{bmatrix}=\A\begin{bmatrix}1\\k_0\end{bmatrix} =1\lA+k_0\rA =\begin{bmatrix}m+pk_0\\ n+qk_0\end{bmatrix}\] 易得上述结论。
2. \(b_1\)的推导
   1. 计算：原直线上任取一点\((x,kx+b)\),计算出变换后的点坐标\((x_1,y_1)\),然后\(b_1=k_1x_1-y_1\)，将\(k_1\)带进去计算就好了。
   2. 众所周知，\(b\)其实是\(y\)轴截距。因此，我们只要求出一个变换后落在\(y\)轴上的一个点，求出其变换后的纵坐标即可，设这个点为\((x,k_0x+b_0)\)，变换后的点为\((x_1,y_1)\). 不难求出\[\displaylines{\lvec x\\ k_0x+b_0\rvec\A=\aftrsfer{x}{(k_0x+b_0)}}\] 所以\(x_1=\transx{x}{(k_0x+b_0)},y_1=\transy{x}{(k_0x+b_0)}\),因为这个点再\(y\)轴上，因此\(x_1=0\). 因此\(\transx{x}{(k_0x+b)}=0\).解的\(x=\dfrac{-pb_0}{m+pk_0}\)此时\(kx+b=\dfrac{mb_0}{m+pk_0}\),因此\(b_1=\transy{x}{(k_0x+b_0)}=\dfrac{-npb_0}{m+pk_0}+\dfrac{qmb_0}{m+pk_0}=\dfrac{mqb_0-npb_0}{m+pk_0}\)