从1到有理数

数学有趣的一点在于，有些概念总是在应用之后再定义。 ——沃兹基硕德

今天，我们将要再这里，定义数学中最基础的概念，数字！

正整数集合

一切的一切，都从\(1\)开始： \[\left\{1\right\}\]

后继运算

接下来，我们定义一个运算符：后继运算符。顾名思义，就是指后面的那个数。下文将 \(x\) 的后继数记作 \(\operatorname{s}(x)\)。（鉴于这是篇关于数学的文章，就不用 \(x++\) 之类的表达方式了）。

这个运算有一下几条性质:

1. \(1\) 不是任何数的后继数。

2. 任何不是 \(1\) 的数都是一个数的后继数。

3. 如果两数后继数相等，则这两个数相等。 这样，我们就可以定义 \(\mathbb{N}_1\)。

4. \(1\in\mathbb{N}_1\)

5. 如果 \(x\in\mathbb{N}_1\)，那么 \(\operatorname{s}(x)\in\mathbb{N}_1\)。

之后，我们给予 \(1\) 的后继数一个符号 \(2\)，\(2\) 的后继数一个符号 \(3\)，依次类推，就有了我们现在所说的正整数。这实际上就是我们常说的皮亚诺算数公理。

数学归纳法

在 \(\mathbb{N}_1\) 中，数学归纳法是成立的。数学归纳法是指对于任何一个命题 \(\operatorname{P}(x)\)，如果可以证明 \(\operatorname{P}(1)\) 成立，并且可以证明 \(\operatorname{P}(n)\Rightarrow\operatorname{P}(s(n))\)，就可以证明 \(\operatorname{P}(x)\) 对全体 \(x\in \mathbb{N}_1\) 成立。即 \[ \left. \begin{array}\operatorname{P}(1)\\ \operatorname{P}(x)\Rightarrow\operatorname{P}(\operatorname{s}(x)) \end{array} \right\}\Rightarrow \forall x\in \mathbb{N}_1,\operatorname{P}(x) \] 乍一看，数学归纳法似乎很符合直觉，这样似乎总是正确的，因为 \(\operatorname{P}(1)\) 可以推出 \(\operatorname{P}(2)\) 成立，\(\operatorname{P}(2)\) 又可以推出 \(\operatorname{P}(3)\) 成立……这样一直进行下去，总有一步可以推出 \(\forall x\in\mathbb{N}_1,\operatorname{P}(x)\) 成立（显然 \(x\) 是有限的，因此论证总可以在有限步之内完成）。然而，数学归纳法也可以推导出了哥德尔不完备定理，从而证明包含皮亚诺算数公理体系的数学不具有完备性。

其它运算符

接下来，就是定义其他运算：

1. 加法 \(\mathbb{N}_1\) 上的加法运算有两条法则：
   1. \(a+1=\operatorname{s}(a)\)
   2. \(a+\operatorname{s}(b)=\operatorname{s}(a+b)\)。 这样定义加法是可以保证最终可以运算出结果的，因为可以用第二条法则不断减少 \(b\) 直到 \(b=1\)，此时再用第一条法则就可以算出结果
2. 乘法 \(\mathbb{N}_1\) 上的乘法运算同样有两条法则：
   1. \(a\times1=a\)
   2. \(a\times\operatorname{s}(b)=ab+a\) 和加法类似，这样定义乘法可以保证任意两个 \(\mathbb{N}_1\) 中的数相乘都可以算出结果。

以及证明各种运算律：

1. （加法交换律）\(a+b=b+a\) 首先，我们先证明 \(\operatorname{s}(a)+b=\operatorname{s}(a+b)\)。 当 \(b=1\) 时，\[\displaylines{\operatorname{s}(a)+1=\operatorname{s}(\operatorname{s}(a))\\\operatorname{s}(a+1)=\operatorname{s}(\operatorname{s}(a))}\] 所以当 \(b=1\) 时有 \(\operatorname{s}(a)+b=\operatorname{s}(a+b)\)。 假设当 \(b=n\) 时 \(\operatorname{s}(a)+b=\operatorname{s}(a+b)\)，那么当 \(b=\operatorname{s}(n)\) 时\[\displaylines{\operatorname{s}(a)+b=\operatorname{s}(a)+\operatorname{s}(n)=\operatorname{s}(\operatorname{s}(a)+n)=\operatorname{s}(\operatorname{s}(a+n))\\\operatorname{s}(a+b)=\operatorname{s}(a+\operatorname{s}(n))=\operatorname{s}(\operatorname{s}(a+n))}\] 所以也有 \(\operatorname{s}(a)+b=\operatorname{s}(a+b)\Rightarrow \operatorname{s}(a)+\operatorname{s}(b)=\operatorname{s}(a+\operatorname{s}(b))\)。再由数学归纳法可知 \[\operatorname{s}(a)+b=\operatorname{s}(a+b)\] 接下来开始证明加法交换律。

   先证明 \(a+1=1+a\)（即当 \(b=1\) 时的情况），仍然利用数学归纳法证明。

   当 \(a=1\) 时，\(a+1=1+a=2\)。 当 \(a=n\) 时有 \(a+1=1+a\)，则当 \(a=\operatorname{s}(n)\) 时有\[a+1=\operatorname{s}(n)+1=\operatorname{s}(n+1)=\operatorname{s}(1+n)=1+\operatorname{s}(n)=1+a\]再由数学归纳法可知原命题成立。 接下来假设 \(b=n\) 时有 \(a+b=b+a\)，则当 \(b=\operatorname{s}(n)\) 时 \[a+b=a+\operatorname{s}(n)=\operatorname{s}(a+n)=\operatorname{s}(n+a)=\operatorname{s}(n)+a=b+a\]在用数学归纳法可以得知加法交换律成立。

2. （乘法交换律）\(a\times b=b\times a\) 和加法交换律类似，先用数学归纳法证明 \(a\times1=1\times a\)，再用一次数学归纳法证 \(a\times b=b\times a\)。 当 \(a=1\) 时，\(a\times 1=1\times a=1\)。 当 \(a=n\) 时有 \(a\times 1=1\times a\)，则当 \(a=\operatorname{s}(n)\) 时有\[a\times 1=\operatorname{s}(n)\times 1=\operatorname{s}(n)=n+1=1\times n+1=1\times \operatorname{s}(n)=1\times a\]再由数学归纳法可知原命题成立。

   接下来证明 \(\operatorname{s}(a)\times b=ab+b\)。 当 \(b=1\) 时有 \(\operatorname{s}(a)\times b=\operatorname{s}(a)=a+1=ab+b\)。 当 \(b=n\) 时 \(\operatorname{s}(a)\times b=ab+b\)，那么当 \(b=\operatorname{s}(n)\) 时 \[\displaylines{\operatorname{s}(a)\times b=\operatorname{s}(a)\times \operatorname{s}(n)=\operatorname{s}(a)\times n+\operatorname{s}(a)=an+n+a+1\\ ab+b=a\times\operatorname{s}(n)+\operatorname{s}(n)=an+a+n+1=an+n+a+1}\] 证明完毕。

   接下来假设 \(b=n\) 时有 \(a\times b=b\times a\)，则当 \(b=\operatorname{s}(n)\) 时\[a\times b=a\times \operatorname{s}(n)=an+a=na+a=\operatorname{s}(n)\times a=b\times a\]在用数学归纳法可以得知乘法交换律成立。

3. （乘法分配律）\(a\times(b+c)=ac+bc\) 证明：当 \(c=1\) 时，有 \[a\times(b+c)=a\times\operatorname{s}(b)=ab+a=ab+ac\]当 \(c=n\) 时，\(a\times(b+c)=ac+bc\)，当 \(c=\operatorname{s}(n)\) 时 \[\displaylines{a\times(b+c)=a\times [b+\operatorname{s}(n)]\\=a\times\operatorname{s}(b+n)=a\times(b+n)+a\\=ab+an+a\\=ab+a\times\operatorname{s}(n)\\=ab+ac}\]用数学归纳法得知原命题成立。

4. （加法结合律）\((a+b)+c=a+(b+c)\) 这次不用用数学归纳法了，太好了。 当 \(b=1\) 时，\[\displaylines{(a+b)+c=\operatorname{s}(a)+c=\operatorname{s}(a+c)\\ a+(b+c)=a+\operatorname{s}(c)=\operatorname{s}(a+c)}\]当 \(b\not = 1\) 时，设 \(b=\operatorname{s}(p)\)，\[\displaylines{(a+b)+c=[a+\operatorname{s}(p)]+c=\operatorname{s}(a+p)+c=\operatorname{s}(a+p+c)\\ a+(b+c)=a+[\operatorname{s}(p)+c]=a+\operatorname{s}(p+c)=\operatorname{s}(a+p+c)}\] 所以原命题成立。

5. （乘法结合律）\((a\times b)\times c=a\times (b\times c)\) 当 \(b=1\) 时，\[\displaylines{(a\times b)\times c=a\times c\\ a\times(b\times c)=a\times c}\]当 \(b\not = 1\) 时，依然设 \(b=\operatorname{s}(p)\)，\[\displaylines{(a\times b)\times c=[a\times\operatorname{s}(p)]\times c=(ap+a)\times c=acp+ac\\a\times(b\times c)=a\times[\operatorname{s}(p)\times c]=a\times(pc+c)=acp+ac}\]所以原命题成立。

序关系

我们定义 \(\mathbb{N}_1\) 上的一个序关系，记作 \(\lt\)。我们定义 \(a\lt b\) 当且仅当存在 \(c\)，使 \(a+c=b\)。

性质

1. （\(\lt\) 是严格序）\(a\not\lt a,a\lt b,b\lt c\Rightarrow a\lt c\) 因为对于任意 \(x\)，\(a+x=a+x\)，所以 \(a\lt a+x\)，因此 \(a\not\lt a\)。假设 \(a+m=b,b+n=c\)，那么 \(a+n+m=c\)，所以 \(a\lt c\)。
2. \(a\lt b\Rightarrow\begin{cases}a+c\lt b+c\\ ac\lt bc \end{cases}\) 证明：假设 \(a+p=b\)，那么 \(a+p+c=b+c\)，\(ac+pc=(a+p)c=bc\)。
3. （最小数原理）在 \(\mathbb{N}_1\) 的非空子集中，必有最小元。

自然数集合

在 \(\mathbb{N}_1\) 的基础上增加一个元素 \(0\)，令 \(\operatorname{s}(0)=1\)。我们为零专门加一些补丁来保证 \(\mathbb{N}_0\) 上的加乘运算是可以进行的。\[\displaylines{0\lt 1,0\lt x(x\in \mathbb{N}_1)\\ 0+x=x+0=x\\0\times x=x\times0=0}\]容易证明，正整数集合上的各种运算律，最小数原理在 \(\mathbb{N}_0\) 上仍然成立。

\(0\) 和 \(1\)

那么，究竟什么是 \(0\)，\(1\) 呢？有个非常有趣的说法，叫做万物都是有结构的空。我们可以这样定义 \(0\)。\[0=\emptyset\]接着这么定义 \(\operatorname{s}(x)\)\[\operatorname{s}(x)=\{x,\emptyset\}\]举个例子，\(\operatorname{s}(0)=1\)，所以\(1=\{0,\emptyset \}\)，由于两个元素重复了，所以 \(1=\{\emptyset\}\)。之后就是 \(\operatorname{s}(1)=2\)，那么 \(2=\{ 1,\emptyset \}=\{\{\emptyset\},\emptyset\}\)。看，万物果然是有结构的空。

整数集合

由于在 \(\mathbb{N}\) 上的一些加法方程无解，而且不能任意做差。因此，我们引入一个新的集合，整数集合 \(\mathbb{Z}\)。

先定义 \(\mathop{\mathbb{Z}}\limits^{\sim}=\mathbb{N}_1\times\mathbb{N}_0\)。也就是说，\(\mathop{\mathbb{Z}}\limits^{\sim}\) 中的每个元素都是由一个正整数和一个自然数组成的数对。我们将这样一个元素记作 \((a,b),a\in\mathbb{N}_1,b\in\mathbb{N}_0\)。接下来定义等价运算 \(=\)。我们说 \((a,b)=(a^\prime,b^\prime)\) 当且仅当 \(a+b^\prime=a^\prime+b\)。

（传递性）如果 \((a,b)=(a^\prime,b^\prime),(a^\prime,b^\prime)=(a^{\prime\prime},b^{\prime\prime})\)，那么 \((a,b)=(a^{\prime\prime},b^{\prime\prime})\)。从前两个条件可以看出，\(a+b^\prime=a^\prime+b,a^\prime+b^{\prime\prime}=a^{\prime\prime}+b^\prime\)，两式相加得 \(a+b^\prime+a^\prime+b^{\prime\prime}=a^\prime+b+a^{\prime\prime}+b^\prime\)，消去 \(a^\prime+b^\prime\) 得 \(a+b^{\prime\prime}=a^{\prime\prime}+b\)，原命题得证。我们将所有重复的元素从 \(\mathop{\mathbb{Z}}\limits^\sim\) 中减去得到 \(\mathbb{Z}\)。

接下来定义 \(\mathbb{Z}\) 上的各种运算。

1. 加法：\((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\)。
2. 乘法：\((a,b)\times(c,d)=(ac+bd,ad+bc)\)
3. 相反数：\(-(a,b)=(b,a)\)

之后，我们需要证明这些运算的结果和代表元无关。就是换一个和其中一个元素等价的数，结果是否和原来一样。以加法为例。假设 \((a,b)=(a^\prime,b^\prime)\)，那么\[\displaylines{(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\\ (a^\prime,b^\prime)+(c,d)=(a^\prime+c,b^\prime+d)}\]此时\[\displaylines{a+c+b^\prime+d=a+b^\prime+c+d\\ b+d+a^\prime+c=a^\prime+b+c+d}\]所以 \((a+c,b+d)=(a^\prime+c,b^\prime+d)\)。

接下来是乘法： \[\displaylines{(a,b)\times(c,d)=(ac+bd,ad+bc)\\ (a^\prime,b^\prime)\times(c,d)=(a^\prime c+b^\prime d,a^\prime d+b^\prime c)}\]此时\[\displaylines{ad+bc+a^\prime c+b^\prime d=(a^\prime+b)c+(a+b ^\prime)d\\ ac+bd+a^\prime d+b^\prime c=(a+b^\prime)c+(a^\prime+b)d}\]所以是等价的。

还有相反数： \[\displaylines{-(a,b)=(b,a)\\-(a^\prime,b^\prime)=(b^\prime,a^\prime)}\]显然 \(a+b^\prime=a^\prime+b\)，结果等价。

\(\mathbb{Z}\) 上的各种运算律都是直接运算再用 \(\mathbb{N}\) 上的运算量就可以证明了，这里不过多赘述。

\(\mathbb{Z}\) 还有一个有趣的性质，\((\mathbb{Z},0,+,-)\) 是交换群。这意味着

1. 加法交换律和加法结合律成立
2. \(x+0=0+x\)
3. \(x+(-x)=(-x)+x=0\)

这些刚刚都证明过了。此时，我们称 \(0\) 为单位元或恒等元。

同时，\(\mathbb{Z}\) 是一个整环。这意味着

1. 乘法交换律，结合律，分配律成立。
2. \(1\times x=x\times 1\)
3. 没有零因子：\(x,y\not = 0\Rightarrow xy\not=0\)，\(xy=0\Rightarrow x=0\lor y=0\)

此时称 \(1\) 为乘法单位元。

此外，\(\mathbb{Z}\) 还是一个欧式环，因为 \(\mathbb{Z}\) 中有除法原理。

有理数

和整数类似，我们仍先定义 \(\mathop{\mathbb{Q}}\limits^\sim=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*\)（\(\mathbb{Z}^*=\mathbb{Z}-\{0\}\)），将其中的一个元素记为 \((a,b),a\in\mathbb{Z},b\in\mathbb{Z}^*\)，我们给这个元素一个符号 \(\dfrac{a}{b}\)。接着定义 \(\mathbb{Q}\) 中的等价关系：\((a,b)=(c,d)\) 当且仅当 \(ad=bc\)。

类似的，将 \(\mathbb{Z}\) 嵌入 \(\mathbb{Q}\)：\(a\in\mathbb{Z},a\rightarrow\dfrac{a}{1}\)。

定义加法，乘法：

1. \(\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}\)
2. \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}\)
3. \(\forall x\in\mathbb{Q}^*,\exists y,xy=1\)，此时称 \(y\) 为 \(x\) 的倒数，记作 \(y=x^{-1}\)，假设 \(x=\dfrac{a}{b}\)，那么 \(x^{-1}=\dfrac{b}{a}\)。

各种性质，运算律的证明和 \(\mathbb{Z}\) 上的大差不差，因此这里不过多赘述。这也说明了，\(\mathbb{Q}\) 是环.

此外 \(\mathbb{Q}\) 为域，这意味着

1. \(\mathbb{Q}\) 为交换环。
2. \(\mathbb{Q}\) 中的每个元素都有倒数。

至此，我们终于定义完成了从正整数到有理数，以后终于可以不再顾忌的使用这些数字（和运算律）了。