勾股定理

本篇笔记探究\(a^2+b^2=c^2\)的通解。 方程齐次:\(a^2+b^2=c^2\Rightarrow(\lambda a)^2+(\lambda b)^2=(\lambda c)^2\) 不妨设\(a,b,c\in\mathbb{N}_1\)且\(gcd(a,b,c)=1\). 则有 \[ \begin{cases} a=r^2-s^2\\ b=2rs\\ c=r^2+s^2 \end{cases} \] 或\(a,b\)互换。 证明：

1. a,b,c两奇一偶 因为\((2n)^2=4n^2\equiv0(mod 4),(2n+1)^2=4n^2+4n+1\equiv1(mod 4) (n\in\mathbb{N_0})\). 而\(a^2+b^2=c^2\Rightarrow a^2+b^2\equiv c^2(mod\space4)\) 又因为\(a,b,c\)两两互质，所以只有当\(a,b\)一奇一偶，\(c\)为奇数时有\[a^2+b^2\equiv c^2\equiv1(mod4)\] 之后不妨设\(b\)为偶。
2. 分解因式。 \[a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)\]

(记n的质因数分解中p的幂次为\(V_p(n)\)) 所以对于\(a^2\)的每个质因子p，有 \[ V_p(a^2)=2V_p(a)=V_p(c+b)+V_p(c-b) \]

3. \(c+b,c-b\)互素 由九章算术·更损相减术可知\(c+b,c-b\)互素（即，\(c+b,c-b\)没有公共质因子） \[ \displaylines{gcd(c+b,c-b)\\ =gcd((c+b)-(c-b),c-b)\\ =gcd(2b,c-b)\\ =gcd(b,c-b)(c-b为奇）\\ =gcd(b,c)\\ =1} \]

所以 \[ V_p(c+b)=2V_p(a),V_p(c-b)=0 \] 或

\[ V_p(c-b)=2V_p(a),V_p(c+b)=0 \] 无论如何，\(c+b,c-b\)都是平方数（每个质因子的幂次都是\(2\)的倍数）。 于是我们设\(n^2=c+b,m^2=c-b\) \[ \begin{cases} a=nm=(\dfrac{n+m}{2})^2-(\dfrac{n-m}{2})^2\\ b=\dfrac{n^2-m^2}{2}=2·\dfrac{n+m}{2}·\dfrac{n-m}{2}\\ c=\dfrac{n^2+m^2}{2}=(\dfrac{n+m}{2})^2+(\dfrac{n-m}{2})^2 \end{cases} \] 此时再设\(r=\dfrac{n+m}{2},s=\dfrac{n-m}{2}\)就有 \[ \begin{cases} a=r^2-s^2\\ b=2rs\\ c=r^2+s^2 \end{cases} \] 其实最开始分解因式时写成\(b^2=(c+a)(c-a)\)会更简单一点，大致思路差不多。

#丢番图方程 #勾股定理

同余数

一个数\(n\in\mathbb{R}\)是同余数当且仅当一下方程组有正整数解。 \[ \begin{cases} a^2+b^2=c^2\\ n=\frac{1}{2}ab \end{cases} \] 因为\(a^2+b^2=c^2\)的通解为 \[ \begin{cases} a=r^2-s^2\\ b=2rs\\ c=r^2+s^2 \end{cases} \] 此时有 \[ n=\dfrac{1}{2}ab =\dfrac{1}{2}(r^2-s^2)(2rs) =rs(r^2-s^2) \] 这就是同余数n的通解。