从1到有理数

数学有趣的一点在于，有些概念总是在应用之后再定义。 ——沃兹基硕德

今天，我们将要再这里，定义数学中最基础的概念，数字！

正整数集合

一切的一切，都从开始：

后继运算

接下来，我们定义一个运算符：后继运算符。顾名思义，就是指后面的那个数。下文将 的后继数记作 。（鉴于这是篇关于数学的文章，就不用 之类的表达方式了）。

这个运算有一下几条性质:

1. 不是任何数的后继数。

2. 任何不是 的数都是一个数的后继数。

3. 如果两数后继数相等，则这两个数相等。 这样，我们就可以定义 。

5. 如果 ，那么 。

之后，我们给予 的后继数一个符号 ， 的后继数一个符号 ，依次类推，就有了我们现在所说的正整数。这实际上就是我们常说的皮亚诺算数公理。

数学归纳法

在 中，数学归纳法是成立的。数学归纳法是指对于任何一个命题 ，如果可以证明 成立，并且可以证明 ，就可以证明 对全体 成立。即 乍一看，数学归纳法似乎很符合直觉，这样似乎总是正确的，因为 可以推出 成立， 又可以推出 成立……这样一直进行下去，总有一步可以推出 成立（显然 是有限的，因此论证总可以在有限步之内完成）。然而，数学归纳法也可以推导出了哥德尔不完备定理，从而证明包含皮亚诺算数公理体系的数学不具有完备性。

其它运算符

接下来，就是定义其他运算：

1. 加法 上的加法运算有两条法则：
   2. 。 这样定义加法是可以保证最终可以运算出结果的，因为可以用第二条法则不断减少 直到 ，此时再用第一条法则就可以算出结果
2. 乘法 上的乘法运算同样有两条法则：
   2. 和加法类似，这样定义乘法可以保证任意两个 中的数相乘都可以算出结果。

以及证明各种运算律：

1. （加法交换律） 首先，我们先证明 。 当 时， 所以当 时有 。 假设当 时 ，那么当 时 所以也有 。再由数学归纳法可知 接下来开始证明加法交换律。

   先证明 （即当 时的情况），仍然利用数学归纳法证明。

   当 时，。 当 时有 ，则当 时有再由数学归纳法可知原命题成立。 接下来假设 时有 ，则当 时 在用数学归纳法可以得知加法交换律成立。

2. （乘法交换律） 和加法交换律类似，先用数学归纳法证明 ，再用一次数学归纳法证 。 当 时，。 当 时有 ，则当 时有再由数学归纳法可知原命题成立。

   接下来证明 。 当 时有 。 当 时 ，那么当 时 证明完毕。

   接下来假设 时有 ，则当 时在用数学归纳法可以得知乘法交换律成立。

3. （乘法分配律） 证明：当 时，有 当 时，，当 时 用数学归纳法得知原命题成立。

4. （加法结合律） 这次不用用数学归纳法了，太好了。 当 时，当 时，设 ， 所以原命题成立。

5. （乘法结合律） 当 时，当 时，依然设 ，所以原命题成立。

序关系

我们定义 上的一个序关系，记作 。我们定义 当且仅当存在 ，使 。

性质

1. （ 是严格序） 因为对于任意 ，，所以 ，因此 。假设 ，那么 ，所以 。
2. 证明：假设 ，那么 ，。
3. （最小数原理）在 的非空子集中，必有最小元。

自然数集合

在 的基础上增加一个元素 ，令 。我们为零专门加一些补丁来保证 上的加乘运算是可以进行的。容易证明，正整数集合上的各种运算律，最小数原理在 上仍然成立。

和

那么，究竟什么是 ， 呢？有个非常有趣的说法，叫做万物都是有结构的空。我们可以这样定义 。接着这么定义 举个例子，，所以，由于两个元素重复了，所以 。之后就是 ，那么 。看，万物果然是有结构的空。

整数集合

由于在 上的一些加法方程无解，而且不能任意做差。因此，我们引入一个新的集合，整数集合 。

先定义 。也就是说， 中的每个元素都是由一个正整数和一个自然数组成的数对。我们将这样一个元素记作 。接下来定义等价运算 。我们说 当且仅当 。

（传递性）如果 ，那么 。从前两个条件可以看出，，两式相加得 ，消去 得 ，原命题得证。我们将所有重复的元素从 中减去得到 。

接下来定义 上的各种运算。

1. 加法：。
2. 乘法：
3. 相反数：

之后，我们需要证明这些运算的结果和代表元无关。就是换一个和其中一个元素等价的数，结果是否和原来一样。以加法为例。假设 ，那么此时所以 。

接下来是乘法： 此时所以是等价的。

还有相反数： 显然 ，结果等价。

上的各种运算律都是直接运算再用 上的运算量就可以证明了，这里不过多赘述。

还有一个有趣的性质， 是交换群。这意味着

1. 加法交换律和加法结合律成立

这些刚刚都证明过了。此时，我们称 为单位元或恒等元。

同时， 是一个整环。这意味着

1. 乘法交换律，结合律，分配律成立。
3. 没有零因子：，

此时称 为乘法单位元。

此外， 还是一个欧式环，因为 中有除法原理。

有理数

和整数类似，我们仍先定义 （），将其中的一个元素记为 ，我们给这个元素一个符号 。接着定义 中的等价关系： 当且仅当 。

类似的，将 嵌入 ：。

定义加法，乘法：

3. ，此时称 为 的倒数，记作 ，假设 ，那么 。

各种性质，运算律的证明和 上的大差不差，因此这里不过多赘述。这也说明了， 是环.

此外 为域，这意味着

1. 为交换环。
2. 中的每个元素都有倒数。

至此，我们终于定义完成了从正整数到有理数，以后终于可以不再顾忌的使用这些数字（和运算律）了。